電験三種 令和5年度(2023) 下期 理論 問4 過去問解説
図のように，透磁率 $\mu_0$[H/m]の真空中に，無限に長い直線状導体Aと1辺 $a$[m]の正方形のループ状導体Bが距離 $d$[m]を隔てて置かれている。AとBはxz平面上にあり，Aはz軸と平行，Bの各辺はx軸又はz軸と平行である。A，Bには直流電流 $I_{\mathrm{A}}$[A]，$I_{\mathrm{B}}$[A]が，それぞれ図示する方向に流れている。このとき，Bに加わる電磁力として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
なお，xyz座標の定義は，破線の枠内の図で示したとおりとする。
- (1) 0 N つまり電磁力は生じない
- (2) $\dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a^2}{2\pi d(a + d)}$[N]の $+x$ 方向の力
- (3) $\dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a^2}{2\pi d(a + d)}$[N]の $-x$ 方向の力
- (4) $\dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a(a + 2d)}{2\pi d(a + d)}$[N]の $+x$ 方向の力
- (5) $\dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a(a + 2d)}{2\pi d(a + d)}$[N]の $-x$ 方向の力
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正解は(2)
使う公式
平行な電流の間の力 $F = \dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r} \times l$（F：力[N]、r：電流の間の距離[m]、l：電線の長さ[m]。同じ向きは引き合い、逆向きは反発する）
解説
【考え方】Bの4つの辺のうち、上下の辺の力は打ち消し合います。残るのは左右の辺で、Aに近い左の辺の力のほうが大きくなります。
■1 左右の辺の力の向き
左の辺はAから d、右の辺はAから $a + d$ の所にあります。長さはどちらも a です。
左の辺：$\dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a}{2\pi d}$（+x 向き）
右の辺：$\dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a}{2\pi (a + d)}$（−x 向き）
■2 差をとる
左の力のほうが大きいので、合計は +x 向きです。
$\dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a}{2\pi}\left(\dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{a + d}\right)$
かっこの中を通分します。
$\dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{a + d} = \dfrac{(a + d) - d}{d(a + d)}$
$= \dfrac{a}{d(a + d)}$
なので $F = \dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a^2}{2\pi d(a + d)}$
答えは(2)ピヨ。
左の辺はAから d、右の辺はAから $a + d$ の所にあります。長さはどちらも a です。
左の辺：$\dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a}{2\pi d}$（+x 向き）
右の辺：$\dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a}{2\pi (a + d)}$（−x 向き）
■2 差をとる
左の力のほうが大きいので、合計は +x 向きです。
$\dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a}{2\pi}\left(\dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{a + d}\right)$
かっこの中を通分します。
$\dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{a + d} = \dfrac{(a + d) - d}{d(a + d)}$
$= \dfrac{a}{d(a + d)}$
なので $F = \dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a^2}{2\pi d(a + d)}$
答えは(2)ピヨ。
出典：令和5年度（2023） 下期 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）理論 問4