電験三種 平成28年度(2016) 機械 問16(b) 過去問解説
純抵抗を負荷とした単相サイリスタ全波整流回路の動作について，次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(b) 単相交流電源電圧$v_{\mathrm{s}}$の実効値を$V$[V]とする。ゲート信号が正しく与えられた場合の出力電圧波形$e_{\mathrm{d2}}$について，制御遅れ角$\alpha$[rad]と出力電圧の平均値$E_{\mathrm{d}}$[V]との関係を表す式として，正しいものに最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
- (1) $E_{\mathrm{d}} = 0.45V\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}$
- (2) $E_{\mathrm{d}} = 0.9V\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}$
- (3) $E_{\mathrm{d}} = V\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}$
- (4) $E_{\mathrm{d}} = 0.45V\cos\alpha$
- (5) $E_{\mathrm{d}} = 0.9V\cos\alpha$
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正解は(2)
使う公式
平均値 $E_{\mathrm{d}} = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{\alpha}^{\pi}\sqrt{2}V\sin\theta\,d\theta$（V：交流電圧の実効値[V]、α：制御遅れ角[rad]）
結果の形 $E_{\mathrm{d}} = 0.9V\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}$
解説
【考え方】抵抗の負荷なので、電圧が 0 になると電流も止まります。半周期ごとに、α から π までの部分だけが出てきます。
■1 出てくる部分
半周期ごとに同じ形なので、0〜π の1回分で平均をとります。
$\displaystyle\int_{\alpha}^{\pi}\sqrt{2}V\sin\theta\,d\theta$
$= \sqrt{2}V\left[-\cos\theta\right]_{\alpha}^{\pi}$
$= \sqrt{2}V(1 + \cos\alpha)$
（$-\cos\pi = 1$ と $+\cos\alpha$ の和です。）
■2 π で割る
$E_{\mathrm{d}} = \dfrac{\sqrt{2}V}{\pi}(1 + \cos\alpha)$
分子と分母に 2 をかけて、選択肢の形にします。
$= \dfrac{2\sqrt{2}}{\pi}V\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}$
$\dfrac{2\sqrt{2}}{\pi} \fallingdotseq 0.9$ なので
$E_{\mathrm{d}} = 0.9V\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}$
（たしかめ：α = π/2 なら 0.45V で、(a) の波形2と合います。）
答えは(2)ピヨ。
半周期ごとに同じ形なので、0〜π の1回分で平均をとります。
$\displaystyle\int_{\alpha}^{\pi}\sqrt{2}V\sin\theta\,d\theta$
$= \sqrt{2}V\left[-\cos\theta\right]_{\alpha}^{\pi}$
$= \sqrt{2}V(1 + \cos\alpha)$
（$-\cos\pi = 1$ と $+\cos\alpha$ の和です。）
■2 π で割る
$E_{\mathrm{d}} = \dfrac{\sqrt{2}V}{\pi}(1 + \cos\alpha)$
分子と分母に 2 をかけて、選択肢の形にします。
$= \dfrac{2\sqrt{2}}{\pi}V\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}$
$\dfrac{2\sqrt{2}}{\pi} \fallingdotseq 0.9$ なので
$E_{\mathrm{d}} = 0.9V\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}$
（たしかめ：α = π/2 なら 0.45V で、(a) の波形2と合います。）
答えは(2)ピヨ。
出典：平成28年度（2016） 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）機械 問16(b)