電験三種 令和5年度(2023) 上期 理論 問1 過去問解説
電極板面積と電極板間隔が共に $S$[m²]と $d$[m]で，一方は比誘電率が $\varepsilon_{\mathrm{r1}}$ の誘電体からなる平行平板コンデンサ $C_1$ と，他方は比誘電率が $\varepsilon_{\mathrm{r2}}$ の誘電体からなる平行平板コンデンサ $C_2$ がある。今，これらを図のように並列に接続し，端子A，B間に直流電圧 $V_0$[V]を加えた。このとき，コンデンサ $C_1$ の電極板間の電界の強さを $E_1$[V/m]，電束密度を $D_1$[C/m²]，また，コンデンサ $C_2$ の電極板間の電界の強さを $E_2$[V/m]，電束密度を $D_2$[C/m²]とする。両コンデンサの電界の強さ $E_1$[V/m]と $E_2$[V/m]はそれぞれ (ア) であり，電束密度 $D_1$[C/m²]と $D_2$[C/m²]はそれぞれ (イ) である。したがって，コンデンサ $C_1$ に蓄えられる電荷を $Q_1$[C]，コンデンサ $C_2$ に蓄えられる電荷を $Q_2$[C]とすると，それらはそれぞれ (ウ) となる。
ただし，電極板の厚さ及びコンデンサの端効果は，無視できるものとする。また，真空の誘電率を $\varepsilon_0$[F/m]とする。
上記の記述中の空白箇所(ア)〜(ウ)に当てはまる式の組合せとして，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
- (1) (ア) $E_1 = \dfrac{\varepsilon_{\mathrm{r1}}}{d}V_0$，$E_2 = \dfrac{\varepsilon_{\mathrm{r2}}}{d}V_0$ (イ) $D_1 = \dfrac{\varepsilon_{\mathrm{r1}}}{d}SV_0$，$D_2 = \dfrac{\varepsilon_{\mathrm{r2}}}{d}SV_0$ (ウ) $Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r1}}}{d}SV_0$，$Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r2}}}{d}SV_0$
- (2) (ア) $E_1 = \dfrac{\varepsilon_{\mathrm{r1}}}{d}V_0$，$E_2 = \dfrac{\varepsilon_{\mathrm{r2}}}{d}V_0$ (イ) $D_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r1}}}{d}V_0$，$D_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r2}}}{d}V_0$ (ウ) $Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r1}}}{d}SV_0$，$Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r2}}}{d}SV_0$
- (3) (ア) $E_1 = \dfrac{V_0}{d}$，$E_2 = \dfrac{V_0}{d}$ (イ) $D_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r1}}}{d}SV_0$，$D_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r2}}}{d}SV_0$ (ウ) $Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r1}}}{d}V_0$，$Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r2}}}{d}V_0$
- (4) (ア) $E_1 = \dfrac{V_0}{d}$，$E_2 = \dfrac{V_0}{d}$ (イ) $D_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r1}}}{d}V_0$，$D_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r2}}}{d}V_0$ (ウ) $Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r1}}}{d}SV_0$，$Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r2}}}{d}SV_0$
- (5) (ア) $E_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r1}}}{d}SV_0$，$E_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r2}}}{d}SV_0$ (イ) $D_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r1}}}{d}V_0$，$D_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r2}}}{d}V_0$ (ウ) $Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0}{d}SV_0$，$Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0}{d}SV_0$
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正解は(4)
使う公式
電界の強さ $E = \dfrac{V}{d}$（E：電界[V/m]、V：電圧[V]、d：極板の間かく[m]）
電束密度 $D = \varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}E$（D：電束密度[C/m²]）
電荷 $Q = DS$（S：極板の面積[m²]）
解説
【考え方】並列なので、どちらのコンデンサにも同じ電圧 $V_0$ がかかります。そこから E、D、Q の順に求めます。
■1 (ア) 電界の強さ
電圧 $V_0$ も間かく d も同じなので、電界（電気の力の強さ）は2つとも同じです。
$E_1 = E_2 = \dfrac{V_0}{d}$ → (ア)
■2 (イ) 電束密度
電束密度は、電界に誘電率 $\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}$ をかけます。比誘電率の分だけちがいます。
$D_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r1}}}{d}V_0$
$D_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r2}}}{d}V_0$ → (イ)
ここにはまだ面積 S は入りません。
■3 (ウ) 電荷
電荷は、電束密度に面積 S をかけます。
$Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r1}}}{d}SV_0$
$Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r2}}}{d}SV_0$ → (ウ)
答えは(4)ピヨ。
電圧 $V_0$ も間かく d も同じなので、電界（電気の力の強さ）は2つとも同じです。
$E_1 = E_2 = \dfrac{V_0}{d}$ → (ア)
■2 (イ) 電束密度
電束密度は、電界に誘電率 $\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}$ をかけます。比誘電率の分だけちがいます。
$D_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r1}}}{d}V_0$
$D_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r2}}}{d}V_0$ → (イ)
ここにはまだ面積 S は入りません。
■3 (ウ) 電荷
電荷は、電束密度に面積 S をかけます。
$Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r1}}}{d}SV_0$
$Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r2}}}{d}SV_0$ → (ウ)
答えは(4)ピヨ。
出典：令和5年度（2023） 上期 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）理論 問1