電験三種 令和元年度(2019) 理論 問18(a) 過去問解説
（選択問題：問17または問18のどちらか1問を解く）
図1は，二重積分形A－D変換器を用いたディジタル直流電圧計の原理図である。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(a) 図1のように，負の基準電圧 $-V_{\mathrm{r}}$（$V_{\mathrm{r}} \gt 0$）[V]と切換スイッチが接続された回路があり，その回路を用いて正の未知電圧 $V_{\mathrm{x}}$（$\gt 0$）[V]を測定する。まず，制御回路によってスイッチが $\mathrm{S_1}$ 側へ切り換わると，時刻 $t = 0\,\mathrm{s}$ で測定電圧 $V_{\mathrm{x}}$[V]が積分器へ入力される。その入力電圧 $V_{\mathrm{i}}$[V]の時間変化が図2(a)であり，積分器からの出力電圧 $V_{\mathrm{o}}$[V]の時間変化が図2(b)である。ただし，$t = 0\,\mathrm{s}$ での出力電圧を $V_{\mathrm{o}} = 0\,\mathrm{V}$ とする。時刻 $t_1$ における $V_{\mathrm{o}}$[V]は，入力電圧 $V_{\mathrm{i}}$[V]の期間 $0 \sim t_1$[s]で囲われる面積 $S$ に比例する。積分器の特性で決まる比例定数を $k$（$\gt 0$）とすると，時刻 $t = T_1$[s]のときの出力電圧は，$V_{\mathrm{m}} =$（ア）[V]となる。
定められた時刻 $t = T_1$[s]に達すると，制御回路によってスイッチが $\mathrm{S_2}$ 側に切り換わり，積分器には基準電圧 $-V_{\mathrm{r}}$[V]が入力される。よって，スイッチ $\mathrm{S_2}$ の期間中の時刻 $t$[s]における積分器の出力電圧の大きさは，$V_{\mathrm{o}} = V_{\mathrm{m}} -$（イ）[V]と表される。
積分器の出力電圧 $V_{\mathrm{o}}$ が $0\,\mathrm{V}$ になると，電圧比較器がそれを検出する。$V_{\mathrm{o}} = 0\,\mathrm{V}$ のときの時刻を $t = T_1 + T_2$[s]とすると，測定電圧は $V_{\mathrm{x}} =$（ウ）[V]と表される。さらに，図2(c)のようにスイッチ $\mathrm{S_1}$，$\mathrm{S_2}$ の各期間 $T_1$[s]，$T_2$[s]中にクロックパルス発振器から出力されるクロックパルス数をそれぞれ $N_1$，$N_2$ とすると，$N_1$ は既知なので $N_2$ をカウントすれば，測定電圧 $V_{\mathrm{x}}$ がディジタル信号に変換される。ここで，クロックパルスの周期 $T_{\mathrm{s}}$ は，クロックパルス発振器の動作周波数に（エ）する。
上記の記述中の空白箇所（ア），（イ），（ウ）及び（エ）に当てはまる組合せとして，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
- (1) （ア）$kV_{\mathrm{x}}T_1$，（イ）$kV_{\mathrm{r}}(t - T_1)$，（ウ）$\dfrac{T_2}{T_1}V_{\mathrm{r}}$，（エ）反比例
- (2) （ア）$kV_{\mathrm{x}}T_1$，（イ）$kV_{\mathrm{r}}T_2$，（ウ）$\dfrac{T_2}{T_1}V_{\mathrm{r}}$，（エ）反比例
- (3) （ア）$k\dfrac{V_{\mathrm{x}}}{T_1}$，（イ）$k\dfrac{V_{\mathrm{r}}}{T_2}$，（ウ）$\dfrac{T_1}{T_2}V_{\mathrm{r}}$，（エ）比例
- (4) （ア）$k\dfrac{V_{\mathrm{x}}}{T_1}$，（イ）$k\dfrac{V_{\mathrm{r}}}{T_2}$，（ウ）$\dfrac{T_1}{T_2}V_{\mathrm{r}}$，（エ）反比例
- (5) （ア）$kV_{\mathrm{x}}T_1$，（イ）$kV_{\mathrm{r}}(t - T_1)$，（ウ）$T_1T_2V_{\mathrm{r}}$，（エ）比例
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正解は(1)
使う公式
二重積分形の関係 $kV_{\mathrm{x}}T_1 = kV_{\mathrm{r}}T_2$（k：比例定数、Vx：測る電圧、Vr：基準電圧、T1・T2：それぞれの時間[s]）
解説
【考え方】積分器の出力は、入力電圧のグラフの面積に比例します。ふえた分と減った分が同じになることから $V_{\mathrm{x}}$ を出します。
■1 (ア) 時刻 T₁ の出力
0〜T₁の面積は $V_{\mathrm{x}} \times T_1$ です。
$V_{\mathrm{m}} = kV_{\mathrm{x}}T_1$ → (ア) $kV_{\mathrm{x}}T_1$
■2 (イ) T₁ のあとの出力
T₁のあとはマイナスの $-V_{\mathrm{r}}$ が入るので、出力は減っていきます。
T₁から t までに減る分は、面積 $V_{\mathrm{r}}(t - T_1)$ に比例します。→ (イ) $kV_{\mathrm{r}}(t - T_1)$
■3 (ウ) 測定電圧
時刻 $T_1 + T_2$ で出力が0になるので、ふえた分と減った分が同じです。
$kV_{\mathrm{x}}T_1 = kV_{\mathrm{r}}T_2$
両辺を $kT_1$ で割って $V_{\mathrm{x}} = \dfrac{T_2}{T_1}V_{\mathrm{r}}$ → (ウ) $\dfrac{T_2}{T_1}V_{\mathrm{r}}$
■4 (エ) 周期と周波数
周期（1回にかかる時間）は、周波数（1秒あたりの回数）の逆数です。
だから、周期は周波数に反比例します。→ (エ) 反比例
答えは(1)ピヨ。
出典：令和元年度（2019） 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）理論 問18(a)