電験三種 令和元年度(2019) 機械 問13 過去問解説
図1に示すR-L回路において，端子 a-a′ 間に $5\,\mathrm{V}$ の階段状のステップ電圧 $v_1(t)\,[\mathrm{V}]$ を加えたとき，抵抗 $R_2\,[\Omega]$ に発生する電圧を $v_2(t)\,[\mathrm{V}]$ とすると，$v_2(t)$ は図2のようになった。この回路の $R_1\,[\Omega]$，$R_2\,[\Omega]$ 及び $L\,[\mathrm{H}]$ の値と，入力を $v_1(t)$，出力を $v_2(t)$ としたときの周波数伝達関数 $G(\mathrm{j}\omega)$ の式として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
- (1) $R_1 = 80$，$R_2 = 20$，$L = 0.2$，$G(\mathrm{j}\omega) = \dfrac{0.5}{1 + \mathrm{j}0.2\omega}$
- (2) $R_1 = 40$，$R_2 = 10$，$L = 1.0$，$G(\mathrm{j}\omega) = \dfrac{0.5}{1 + \mathrm{j}0.02\omega}$
- (3) $R_1 = 8$，$R_2 = 2$，$L = 0.1$，$G(\mathrm{j}\omega) = \dfrac{0.2}{1 + \mathrm{j}0.2\omega}$
- (4) $R_1 = 4$，$R_2 = 1$，$L = 0.1$，$G(\mathrm{j}\omega) = \dfrac{0.2}{1 + \mathrm{j}0.02\omega}$
- (5) $R_1 = 0.8$，$R_2 = 0.2$，$L = 1.0$，$G(\mathrm{j}\omega) = \dfrac{0.2}{1 + \mathrm{j}0.2\omega}$
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正解は(4)
使う公式
時定数 $\tau = \dfrac{L}{R_1 + R_2}$（τ：最終の 63 % に達するまでの時間[s]、L：インダクタンス[H]）
周波数伝達関数 $G(\mathrm{j}\omega) = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2 + \mathrm{j}\omega L}$
$= \dfrac{\dfrac{R_2}{R_1 + R_2}}{1 + \mathrm{j}\omega\tau}$（ω：角周波数）
解説
【考え方】図2から「最後の値」と「63 % になる時間（時定数）」を読みます。最後の値から抵抗の比、時定数から L が分かります。
■1 最後の値から抵抗の比
十分に時間がたつと、コイルは電流を止めなくなり、ただの電線と同じになります。すると 5 V を $R_1$ と $R_2$ で分けます。
$5 \times \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} = 1.00$
$\dfrac{R_2}{R_1 + R_2} = 0.2$
■2 時定数を読む
0.63 V（最後の値の 63 %）になるのは 0.02 s です。これが時定数です。
$\tau = \dfrac{L}{R_1 + R_2} = 0.02\,\mathrm{s}$
■3 選択肢を確かめる
(4)：$R_1 + R_2 = 5$ なので、$\dfrac{1}{5} = 0.2$、$\tau = \dfrac{0.1}{5} = 0.02$ で、2つとも合います。
(1)：$\tau = \dfrac{0.2}{100} = 0.002$ で合いません。
(2)：$\dfrac{10}{50} = 0.2$、$\tau = \dfrac{1.0}{50} = 0.02$ で値は合いますが、G の分子が 0.5 になっていて、0.2 と合いません。
(3)：$\tau = \dfrac{0.1}{10} = 0.01$ で合いません。
(5)：$\tau = \dfrac{1.0}{1} = 1$ で合いません。
■4 伝達関数
(4) の値を入れて、分母と分子を 5 で割ります。
$G(\mathrm{j}\omega) = \dfrac{1}{4 + 1 + \mathrm{j}0.1\omega}$
$= \dfrac{0.2}{1 + \mathrm{j}0.02\omega}$
答えは(4)ピヨ。
十分に時間がたつと、コイルは電流を止めなくなり、ただの電線と同じになります。すると 5 V を $R_1$ と $R_2$ で分けます。
$5 \times \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} = 1.00$
$\dfrac{R_2}{R_1 + R_2} = 0.2$
■2 時定数を読む
0.63 V（最後の値の 63 %）になるのは 0.02 s です。これが時定数です。
$\tau = \dfrac{L}{R_1 + R_2} = 0.02\,\mathrm{s}$
■3 選択肢を確かめる
(4)：$R_1 + R_2 = 5$ なので、$\dfrac{1}{5} = 0.2$、$\tau = \dfrac{0.1}{5} = 0.02$ で、2つとも合います。
(1)：$\tau = \dfrac{0.2}{100} = 0.002$ で合いません。
(2)：$\dfrac{10}{50} = 0.2$、$\tau = \dfrac{1.0}{50} = 0.02$ で値は合いますが、G の分子が 0.5 になっていて、0.2 と合いません。
(3)：$\tau = \dfrac{0.1}{10} = 0.01$ で合いません。
(5)：$\tau = \dfrac{1.0}{1} = 1$ で合いません。
■4 伝達関数
(4) の値を入れて、分母と分子を 5 で割ります。
$G(\mathrm{j}\omega) = \dfrac{1}{4 + 1 + \mathrm{j}0.1\omega}$
$= \dfrac{0.2}{1 + \mathrm{j}0.02\omega}$
答えは(4)ピヨ。
出典：令和元年度（2019） 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）機械 問13