電験三種 平成30年度(2018) 理論 問1 過去問解説
次の文章は，帯電した導体球に関する記述である。
真空中で導体球A及びBが軽い絶縁体の糸で固定点Oからつり下げられている。真空の誘電率を $\varepsilon_0$[F/m]，重力加速度を $g$[m/s²]とする。A及びBは同じ大きさと質量 $m$[kg]をもつ。糸の長さは各導体球の中心点が点Oから距離 $l$[m]となる長さである。
まず，導体球A及びBにそれぞれ電荷 $Q$[C]，$3Q$[C]を与えて帯電させたところ，静電力による（ア）が生じ，図のようにA及びBの中心点間が $d$[m]離れた状態で釣り合った。ただし，導体球の直径は $d$ に比べて十分に小さいとする。このとき，個々の導体球において，静電力 $F =$（イ）[N]，重力 $mg$[N]，糸の張力 $T$[N]，の三つの力が釣り合っている。三平方の定理より $F^2 + (mg)^2 = T^2$ が成り立ち，張力の方向を考えると $\dfrac{F}{T}$ は $\dfrac{d}{2l}$ に等しい。これらより $T$ を消去し整理すると，$d$ が満たす式として，
$k\left(\dfrac{d}{2l}\right)^3 = \sqrt{1 - \left(\dfrac{d}{2l}\right)^2}$
が導かれる。ただし，係数 $k =$（ウ）である。
次に，AとBとを一旦接触させたところAB間で電荷が移動し，同電位となった。そしてAとBとが力の釣合いの位置に戻った。接触前に比べ，距離 $d$ は（エ）した。
上記の記述中の空白箇所（ア），（イ），（ウ）及び（エ）に当てはまる組合せとして，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
- (1) （ア）反発力，（イ）$\dfrac{3Q^2}{4\pi\varepsilon_0 d^2}$，（ウ）$\dfrac{16\pi\varepsilon_0 l^2 mg}{3Q^2}$，（エ）増加
- (2) （ア）吸引力，（イ）$\dfrac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 d^2}$，（ウ）$\dfrac{4\pi\varepsilon_0 l^2 mg}{Q^2}$，（エ）増加
- (3) （ア）反発力，（イ）$\dfrac{3Q^2}{4\pi\varepsilon_0 d^2}$，（ウ）$\dfrac{4\pi\varepsilon_0 l^2 mg}{Q^2}$，（エ）増加
- (4) （ア）反発力，（イ）$\dfrac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 d^2}$，（ウ）$\dfrac{16\pi\varepsilon_0 l^2 mg}{3Q^2}$，（エ）減少
- (5) （ア）吸引力，（イ）$\dfrac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 d^2}$，（ウ）$\dfrac{4\pi\varepsilon_0 l^2 mg}{Q^2}$，（エ）減少
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正解は(1)
使う公式
クーロンの法則 $F = \dfrac{Q_1 Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$（F：電荷どうしの力[N]、Q₁・Q₂：電荷[C]、ε₀：真空の誘電率[F/m]、r：距離[m]）
力のつり合い $\dfrac{F}{T} = \dfrac{d}{2l}$、$\dfrac{mg}{T} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{d}{2l}\right)^2}$（T：糸の張力[N]、mg：重力[N]）
解説
【考え方】同じ種類の電荷（どちらもプラス）は押し合います。導体球Bには、押し合う力 F・重力 mg・糸の張力 T の3つがかかり、つり合っています。
■1 (ア)(イ) 3つの力
A も B もプラスの電荷なので、押し合う力（反発力）がはたらきます。→ (ア) 反発力
B が受ける力 F は、クーロンの法則で出します。
$F = \dfrac{Q \times 3Q}{4\pi\varepsilon_0 d^2}$
$= \dfrac{3Q^2}{4\pi\varepsilon_0 d^2}$ → (イ)
■2 (ウ) d の式をつくる
$x = \dfrac{d}{2l}$ とおきます。
張力の向きから $\dfrac{F}{T} = x$
三平方の定理から $\dfrac{mg}{T} = \sqrt{1 - x^2}$
上の式を下の式で割ると、T が消えます。
$\dfrac{F}{mg} = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$
だから $F = \dfrac{mg\,x}{\sqrt{1 - x^2}}$ …①
一方、クーロンの法則の F に $d = 2lx$ を入れます。$(2lx)^2 = 4l^2x^2$ です。
$F = \dfrac{3Q^2}{16\pi\varepsilon_0 l^2 x^2}$ …②
①と②は同じ F なので、等しいとおきます。
$\dfrac{3Q^2}{16\pi\varepsilon_0 l^2 x^2} = \dfrac{mg\,x}{\sqrt{1 - x^2}}$
両辺に $x^2\sqrt{1 - x^2}$ をかけます。
$\dfrac{3Q^2}{16\pi\varepsilon_0 l^2}\sqrt{1 - x^2} = mg\,x^3$
両辺を $\dfrac{3Q^2}{16\pi\varepsilon_0 l^2}$ で割ります。
$\sqrt{1 - x^2} = \dfrac{16\pi\varepsilon_0 l^2 mg}{3Q^2}\,x^3$
だから $k = \dfrac{16\pi\varepsilon_0 l^2 mg}{3Q^2}$ → (ウ)
■3 (エ) 接触させた後
同じ大きさの導体球をくっつけると、電荷は半分ずつに分かれます。
合計 $Q + 3Q = 4Q$ なので、2Q ずつです。
電荷のかけ算は、前が $Q \times 3Q = 3Q^2$、後が $2Q \times 2Q = 4Q^2$ です。
力が大きくなるので、2つの球はもっと離れます。→ (エ) 増加
答えは(1)ピヨ。
A も B もプラスの電荷なので、押し合う力（反発力）がはたらきます。→ (ア) 反発力
B が受ける力 F は、クーロンの法則で出します。
$F = \dfrac{Q \times 3Q}{4\pi\varepsilon_0 d^2}$
$= \dfrac{3Q^2}{4\pi\varepsilon_0 d^2}$ → (イ)
■2 (ウ) d の式をつくる
$x = \dfrac{d}{2l}$ とおきます。
張力の向きから $\dfrac{F}{T} = x$
三平方の定理から $\dfrac{mg}{T} = \sqrt{1 - x^2}$
上の式を下の式で割ると、T が消えます。
$\dfrac{F}{mg} = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$
だから $F = \dfrac{mg\,x}{\sqrt{1 - x^2}}$ …①
一方、クーロンの法則の F に $d = 2lx$ を入れます。$(2lx)^2 = 4l^2x^2$ です。
$F = \dfrac{3Q^2}{16\pi\varepsilon_0 l^2 x^2}$ …②
①と②は同じ F なので、等しいとおきます。
$\dfrac{3Q^2}{16\pi\varepsilon_0 l^2 x^2} = \dfrac{mg\,x}{\sqrt{1 - x^2}}$
両辺に $x^2\sqrt{1 - x^2}$ をかけます。
$\dfrac{3Q^2}{16\pi\varepsilon_0 l^2}\sqrt{1 - x^2} = mg\,x^3$
両辺を $\dfrac{3Q^2}{16\pi\varepsilon_0 l^2}$ で割ります。
$\sqrt{1 - x^2} = \dfrac{16\pi\varepsilon_0 l^2 mg}{3Q^2}\,x^3$
だから $k = \dfrac{16\pi\varepsilon_0 l^2 mg}{3Q^2}$ → (ウ)
■3 (エ) 接触させた後
同じ大きさの導体球をくっつけると、電荷は半分ずつに分かれます。
合計 $Q + 3Q = 4Q$ なので、2Q ずつです。
電荷のかけ算は、前が $Q \times 3Q = 3Q^2$、後が $2Q \times 2Q = 4Q^2$ です。
力が大きくなるので、2つの球はもっと離れます。→ (エ) 増加
答えは(1)ピヨ。
出典：平成30年度（2018） 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）理論 問1