電験三種 平成29年度(2017) 理論 問16(b) 過去問解説
図のように，線間電圧 $V$[V]，周波数 $f$[Hz]の対称三相交流電源に，$R$[Ω]の抵抗とインダクタンス $L$[H]のコイルからなる三相平衡負荷を接続した交流回路がある。この回路には，スイッチSを介して，負荷に静電容量 $C$[F]の三相平衡コンデンサを接続することができる。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(b) スイッチSを閉じてコンデンサを接続したとき，電源からみた負荷側の力率が1になった。
このとき，静電容量 $C$ の値[F]を示す式として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
ただし，角周波数を $\omega$[rad/s]とする。
- (1) $C = \dfrac{L}{R^2 + \omega^2 L^2}$
- (2) $C = \dfrac{\omega L}{R^2 + \omega^2 L^2}$
- (3) $C = \dfrac{L}{\sqrt{3}(R^2 + \omega^2 L^2)}$
- (4) $C = \dfrac{L}{3(R^2 + \omega^2 L^2)}$
- (5) $C = \dfrac{\omega L}{3(R^2 + \omega^2 L^2)}$
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正解は(4)
使う公式
Δ−Y変換（同じ部品が3つ） Δ結線の C は、Y結線にすると $3C$（C：静電容量[F]）
RL のアドミタンス（電流の流れやすさ。インピーダンスの逆数）
$\dfrac{1}{R + \mathrm{j}\omega L}$
$= \dfrac{R}{R^2 + \omega^2 L^2} - \mathrm{j}\dfrac{\omega L}{R^2 + \omega^2 L^2}$
解説
【考え方】コンデンサをY結線に直して、1相分で考えます。コイルの「遅れる電流」とコンデンサの「進む電流」がちょうど打ち消し合えば、力率は1です。
■1 Y結線に直す
Δ結線のインピーダンスは、Y結線に直すと $\dfrac{1}{3}$ になります。コンデンサのインピーダンスは $\dfrac{1}{\omega C}$ なので、容量は3倍の 3C になります。
■2 1相分で打ち消し合う
RL 負荷の電流の流れやすさ（アドミタンス）は $\dfrac{1}{R + \mathrm{j}\omega L}$ です。
分子と分母に $R - \mathrm{j}\omega L$ をかけると、分母が $R^2 + \omega^2 L^2$ になり、j の部分を取り出せます。
このうち遅れる部分（j のついた部分）は $\dfrac{\omega L}{R^2 + \omega^2 L^2}$ です。
コンデンサ 3C の進む部分は $\omega \times 3C$ です。この2つを等しくします。
$3\omega C = \dfrac{\omega L}{R^2 + \omega^2 L^2}$
両辺を $3\omega$ で割ります。
$C = \dfrac{L}{3(R^2 + \omega^2 L^2)}$
答えは(4)ピヨ。
Δ結線のインピーダンスは、Y結線に直すと $\dfrac{1}{3}$ になります。コンデンサのインピーダンスは $\dfrac{1}{\omega C}$ なので、容量は3倍の 3C になります。
■2 1相分で打ち消し合う
RL 負荷の電流の流れやすさ（アドミタンス）は $\dfrac{1}{R + \mathrm{j}\omega L}$ です。
分子と分母に $R - \mathrm{j}\omega L$ をかけると、分母が $R^2 + \omega^2 L^2$ になり、j の部分を取り出せます。
このうち遅れる部分（j のついた部分）は $\dfrac{\omega L}{R^2 + \omega^2 L^2}$ です。
コンデンサ 3C の進む部分は $\omega \times 3C$ です。この2つを等しくします。
$3\omega C = \dfrac{\omega L}{R^2 + \omega^2 L^2}$
両辺を $3\omega$ で割ります。
$C = \dfrac{L}{3(R^2 + \omega^2 L^2)}$
答えは(4)ピヨ。
出典：平成29年度（2017） 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）理論 問16(b)