電験三種 平成27年度(2015) 機械 問15(b) 過去問解説
定格出力 $15\,\mathrm{kW}$，定格電圧 $220\,\mathrm{V}$，定格周波数 $60\,\mathrm{Hz}$，6極の三相巻線形誘導電動機がある。二次巻線は星形（Y）結線でスリップリングを通して短絡されており，各相の抵抗値は $0.5\,\Omega$ である。この電動機を定格電圧，定格周波数の電源に接続して定格出力（このときの負荷トルクを $T_{\mathrm{n}}$ とする）で運転しているときの滑りは5 %であった。
計算に当たっては，L形簡易等価回路を採用し，機械損及び鉄損は無視できるものとして，次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(b) 電動機の二次回路の各相に上記(a)と同様に $0.2\,\Omega$ の抵抗を直列に挿入したままで，電源の周波数を変えずに電圧だけを $200\,\mathrm{V}$ に変更したところ，ある負荷トルクで安定に運転した。このときの滑りは上記(a)と同じであった。
この安定に運転したときの負荷トルクの値[N・m]として，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
- (1) 99
- (2) 104
- (3) 106
- (4) 109
- (5) 114
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正解は(2)
使う公式
誘導電動機のトルク 滑りが同じなら $T \propto V^2$、トルク $T = \dfrac{P}{\omega}$、$\omega = \dfrac{2\pi N}{60}$（V：電圧[V]、P：出力[W]、ω：角速度[rad/s]、N：回転速度[min⁻¹]）
解説
【考え方】滑りが同じなら、トルクは電圧の2乗に比例します。まず定格のトルク $T_{\mathrm{n}}$ を出し、電圧の比の2乗をかけます。
■1 なぜ電圧の2乗に比例するか
(a)と同じ滑りなので、等価回路のインピーダンス（電流の流れにくさ）は同じです。
電流は電圧に比例し、トルクは電流の2乗に比例します。
だから、トルクは電圧の2乗に比例します。
■2 回転速度
6極・60 Hz の同期速度（回転磁界の速さ）は
$N_{\mathrm{s}} = \dfrac{120 \times 60}{6} = 1\,200\,\mathrm{min^{-1}}$
滑り5 %（0.05）なので、回転速度は
$N = 1\,200 \times (1 - 0.05) = 1\,140\,\mathrm{min^{-1}}$
■3 定格のトルク
角速度は $\omega = \dfrac{2\pi \times 1\,140}{60} \fallingdotseq 119.4\,\mathrm{rad/s}$ です。
$T_{\mathrm{n}} = \dfrac{15\,000}{119.4} \fallingdotseq 125.7\,\mathrm{N \cdot m}$
■4 電圧を 200 V にしたとき
(a)の状態（220 V で $T_{\mathrm{n}}$）から、電圧を 220 V → 200 V にします。
$\left(\dfrac{200}{220}\right)^2 \fallingdotseq 0.826$
$T = 125.7 \times 0.826 \fallingdotseq 104\,\mathrm{N \cdot m}$
答えは(2)ピヨ。
出典：平成27年度（2015） 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）機械 問15(b)