電験三種 平成26年度(2014) 機械 問15(b) 過去問解説
周波数が $60\,\mathrm{Hz}$ の電源で駆動されている4極の三相同期電動機（星形結線）があり，端子の相電圧 $V$[V]は $\dfrac{400}{\sqrt{3}}\,\mathrm{V}$，電機子電流 $I_{\mathrm{M}}$[A]は $200\,\mathrm{A}$，力率1で運転している。1相の同期リアクタンス $x_{\mathrm{s}}$[Ω]は $1.00\,\Omega$ であり，電機子の巻線抵抗，及び機械損などの損失は無視できるものとして，次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(b) 上記の同期電動機の端子電圧及び出力を一定にしたまま界磁電流を増やしたところ，電機子電流が $I_{\mathrm{M1}}$[A]に変化し，力率 $\cos\theta$ が $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$（$\theta = 30^\circ$）の進み負荷となった。出力が一定なので入力電力は変わらない。図はこのときの状態を説明するための1相の概略のベクトル図である。このときの1相の誘導起電力 $E$[V]として，最も近い $E$ の値を次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
- (1) 374
- (2) 387
- (3) 400
- (4) 446
- (5) 475
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正解は(3)
使う公式
同期電動機の電圧の式 $\dot{E} = \dot{V} - \mathrm{j}x_{\mathrm{s}}\dot{I}$（E：誘導起電力[V]、V：端子の相電圧[V]、$x_{\mathrm{s}}$：同期リアクタンス[Ω]、I：電機子電流[A]）
入力電力が同じ $I\cos\theta$ が変わらない（θ：力率角）
大きさ $|a + \mathrm{j}b| = \sqrt{a^2 + b^2}$
解説
【考え方】電流を「電圧と同じ向きの分」と「90°ずれた分」に分けると、三角形で計算できます。
■1 新しい電流を2つに分ける
入力電力が同じなので、電圧と同じ向きの分は 200 A のままです。
$I_{\mathrm{M1}} = \dfrac{200}{\cos 30^\circ} = \dfrac{200}{0.866} \fallingdotseq 231\,\mathrm{A}$
30°進んでいるので、90°ずれた分は
$231 \times \sin 30^\circ = 231 \times 0.5$
$\fallingdotseq 115.5\,\mathrm{A}$
■2 $\mathrm{j}x_{\mathrm{s}}\dot{I}$ を計算する
電流は $\dot{I}_{\mathrm{M1}} = 200 + \mathrm{j}115.5$ です。
j をかけると、向きが90°回ります（$\mathrm{j} \times \mathrm{j} = -1$）。
$\mathrm{j}x_{\mathrm{s}}\dot{I}_{\mathrm{M1}} = \mathrm{j} \times 1 \times (200 + \mathrm{j}115.5)$
$= \mathrm{j}200 + \mathrm{j}^2 115.5$
$= -115.5 + \mathrm{j}200$
■3 E を三角形で求める
相電圧は $V = \dfrac{400}{\sqrt{3}} \fallingdotseq 231\,\mathrm{V}$ です。$\dot{E} = \dot{V} - \mathrm{j}x_{\mathrm{s}}\dot{I}$ に入れます。
$\dot{E} = 231 - (-115.5 + \mathrm{j}200)$
$= 346.5 - \mathrm{j}200$
$E = \sqrt{346.5^2 + 200^2}$
$= \sqrt{120\,062 + 40\,000}$
$\fallingdotseq 400\,\mathrm{V}$
答えは(3)ピヨ。
入力電力が同じなので、電圧と同じ向きの分は 200 A のままです。
$I_{\mathrm{M1}} = \dfrac{200}{\cos 30^\circ} = \dfrac{200}{0.866} \fallingdotseq 231\,\mathrm{A}$
30°進んでいるので、90°ずれた分は
$231 \times \sin 30^\circ = 231 \times 0.5$
$\fallingdotseq 115.5\,\mathrm{A}$
■2 $\mathrm{j}x_{\mathrm{s}}\dot{I}$ を計算する
電流は $\dot{I}_{\mathrm{M1}} = 200 + \mathrm{j}115.5$ です。
j をかけると、向きが90°回ります（$\mathrm{j} \times \mathrm{j} = -1$）。
$\mathrm{j}x_{\mathrm{s}}\dot{I}_{\mathrm{M1}} = \mathrm{j} \times 1 \times (200 + \mathrm{j}115.5)$
$= \mathrm{j}200 + \mathrm{j}^2 115.5$
$= -115.5 + \mathrm{j}200$
■3 E を三角形で求める
相電圧は $V = \dfrac{400}{\sqrt{3}} \fallingdotseq 231\,\mathrm{V}$ です。$\dot{E} = \dot{V} - \mathrm{j}x_{\mathrm{s}}\dot{I}$ に入れます。
$\dot{E} = 231 - (-115.5 + \mathrm{j}200)$
$= 346.5 - \mathrm{j}200$
$E = \sqrt{346.5^2 + 200^2}$
$= \sqrt{120\,062 + 40\,000}$
$\fallingdotseq 400\,\mathrm{V}$
答えは(3)ピヨ。
出典：平成26年度（2014） 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）機械 問15(b)