電験三種 平成25年度(2013) 理論 問4 過去問解説
図のように，透磁率 $\mu_0$[H/m]の真空中に無限に長い直線状導体Aと1辺 $a$[m]の正方形のループ状導体Bが距離 $d$[m]を隔てて置かれている。AとBは $xz$ 平面上にあり，Aは $z$ 軸と平行，Bの各辺は $x$ 軸又は $z$ 軸と平行である。A，Bには直流電流 $I_{\mathrm{A}}$[A]，$I_{\mathrm{B}}$[A]が，それぞれ図示する方向に流れている。このとき，Bに加わる電磁力として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
なお，$xyz$ 座標の定義は，破線の枠内の図で示したとおりとする。
- (1) 0[N]つまり電磁力は生じない
- (2) $\dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a^2}{2\pi d(a + d)}$[N]の $+x$ 方向の力
- (3) $\dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a^2}{2\pi d(a + d)}$[N]の $-x$ 方向の力
- (4) $\dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a(a + 2d)}{2\pi d(a + d)}$[N]の $+x$ 方向の力
- (5) $\dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a(a + 2d)}{2\pi d(a + d)}$[N]の $-x$ 方向の力
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正解は(2)
使う公式
平行な電流の間の力 $F = \dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}l$（F：力[N]、μ₀：真空の透磁率[H/m]、I：電流[A]、r：距離[m]、l：電線の長さ[m]。同じ向きは引き合い、反対向きは反発）
解説
【考え方】正方形の4つの辺に分けて考えます。A と平行な左右の辺の力をくらべます。
■1 電流の向きをくらべる
A の電流は下向きです。
B の左の辺は上向き（A と反対）、右の辺は下向き（A と同じ）です。
上と下の辺は、同じ大きさで反対向きの力を受けるので、打ち消し合います。
■2 左右の辺の力
左の辺（距離 d）は、反対向きの電流なので反発して ＋x 向きです。
$F_1 = \dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a}{2\pi d}$
右の辺（距離 a＋d）は、同じ向きの電流なので引かれて −x 向きです。
$F_2 = \dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a}{2\pi (a + d)}$
■3 差を計算する
近い左の辺の力が大きいので、合計は ＋x 向きです。
$F = F_1 - F_2 = \dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a}{2\pi} \left( \dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{a + d} \right)$
$\dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{a + d} = \dfrac{(a + d) - d}{d(a + d)} = \dfrac{a}{d(a + d)}$
$F = \dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a^2}{2\pi d(a + d)}$
答えは(2)ピヨ。
A の電流は下向きです。
B の左の辺は上向き（A と反対）、右の辺は下向き（A と同じ）です。
上と下の辺は、同じ大きさで反対向きの力を受けるので、打ち消し合います。
■2 左右の辺の力
左の辺（距離 d）は、反対向きの電流なので反発して ＋x 向きです。
$F_1 = \dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a}{2\pi d}$
右の辺（距離 a＋d）は、同じ向きの電流なので引かれて −x 向きです。
$F_2 = \dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a}{2\pi (a + d)}$
■3 差を計算する
近い左の辺の力が大きいので、合計は ＋x 向きです。
$F = F_1 - F_2 = \dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a}{2\pi} \left( \dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{a + d} \right)$
$\dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{a + d} = \dfrac{(a + d) - d}{d(a + d)} = \dfrac{a}{d(a + d)}$
$F = \dfrac{\mu_0 I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} a^2}{2\pi d(a + d)}$
答えは(2)ピヨ。
出典：平成25年度（2013） 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）理論 問4