電験三種 平成23年度(2011) 理論 問5 過去問解説
20[℃]における抵抗値が $R_1$[Ω]，抵抗温度係数が $\alpha_1$[℃⁻¹]の抵抗器Aと 20[℃]における抵抗値が $R_2$[Ω]，抵抗温度係数が $\alpha_2 = 0$[℃⁻¹]の抵抗器Bが並列に接続されている。その 20[℃]と 21[℃]における並列抵抗値をそれぞれ $r_{20}$[Ω]，$r_{21}$[Ω]とし，$\dfrac{r_{21} - r_{20}}{r_{20}}$ を変化率とする。変化率として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
- (1) $\dfrac{\alpha_1 R_1 R_2}{R_1 + R_2 + \alpha_1^2 R_1}$
- (2) $\dfrac{\alpha_1 R_2}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1}$
- (3) $\dfrac{\alpha_1 R_1}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1}$
- (4) $\dfrac{\alpha_1 R_2}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_2}$
- (5) $\dfrac{\alpha_1 R_1}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_2}$
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正解は(2)
使う公式
抵抗の温度変化 $R_t = R(1 + \alpha \Delta t)$、並列の合成抵抗 $r = \dfrac{R_a R_b}{R_a + R_b}$（α：抵抗温度係数[℃⁻¹]、Δt：温度の上がり幅[℃]）
解説
【考え方】温度で抵抗が変わるのはAだけです。20 ℃と21 ℃の並列抵抗を式で書き、割り算して変化率を出します。
■1 21 ℃のときの抵抗
1 ℃上がると、Aの抵抗は $R_1(1 + \alpha_1)$ になります。
Bは $\alpha_2 = 0$ なので、$R_2$ のままです。
■2 並列抵抗を式で書く
$r_{20} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$
$r_{21} = \dfrac{R_1(1 + \alpha_1) R_2}{R_1(1 + \alpha_1) + R_2}$
$= \dfrac{(1 + \alpha_1)R_1 R_2}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1}$
■3 割り算をする
$\dfrac{r_{21}}{r_{20}} = \dfrac{(1 + \alpha_1)R_1 R_2}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1} \times \dfrac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$
$= \dfrac{(1 + \alpha_1)(R_1 + R_2)}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1}$
■4 変化率を出す
変化率は $\dfrac{r_{21} - r_{20}}{r_{20}} = \dfrac{r_{21}}{r_{20}} - 1$ です。
通分すると、分子は次のようになります。
$(1 + \alpha_1)(R_1 + R_2) - (R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1)$
前のかっこを開くと $R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1 + \alpha_1 R_2$ です。
ここから $R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1$ を引くと、$\alpha_1 R_2$ が残ります。
分母は $R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1$ のままです。
$\dfrac{r_{21} - r_{20}}{r_{20}} = \dfrac{\alpha_1 R_2}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1}$
答えは(2)ピヨ。
出典：平成23年度（2011） 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）理論 問5