電験三種 平成23年度(2011) 理論 問15(a) 過去問解説
図のように，$R$[Ω]の抵抗，静電容量 $C$[F]のコンデンサ，インダクタンス $L$[H]のコイルからなる平衡三相負荷に線間電圧 $V$[V]の対称三相交流電源を接続した回路がある。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし，交流電源電圧の角周波数は $\omega$[rad/s]とする。
(a) 三相電源からみた平衡三相負荷の力率が1になったとき，インダクタンス $L$[H]のコイルと静電容量 $C$[F]のコンデンサの関係を示す式として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
- (1) $L = \dfrac{3C^2R^2}{1 + 9(\omega CR)^2}$
- (2) $L = \dfrac{3CR^2}{1 + 9(\omega CR)^2}$
- (3) $L = \dfrac{3C^2R}{1 + 9(\omega CR)^2}$
- (4) $L = \dfrac{9CR^2}{1 + 9(\omega CR)^2}$
- (5) $L = \dfrac{R}{1 + 9(\omega CR)^2}$
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正解は(2)
使う公式
Δ→Y の置きかえ（コンデンサ） $C_{\mathrm{Y}} = 3C$（Δのコンデンサは、Yでは3倍の静電容量になる（インピーダンスが $\dfrac{1}{3}$ になるため））
並列のインピーダンス $\dot{Z} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{R} + \mathrm{j}\omega C}$（j：90°ずれを表す記号、ω：角周波数[rad/s]）
解説
【考え方】Δのコンデンサを Y に置きかえて、1相分で考えます。力率1は、1相のインピーダンスの「j の部分」が0になることです。
■1 Δ を Y に置きかえる
Y にすると、各相は R と 3C の並列になります。
■2 1相分で j の部分を0にする
R と 3C の並列のインピーダンスを計算します。$k = \omega CR$ とおきます。
$\dfrac{1}{\frac{1}{R} + \mathrm{j}3\omega C} = \dfrac{R}{1 + \mathrm{j}3k}$
分母の j を消すため、上と下に $1 - \mathrm{j}3k$ をかけます。
$= \dfrac{R(1 - \mathrm{j}3k)}{1 + 9k^2}$
$= \dfrac{R}{1 + 9k^2} - \mathrm{j}\dfrac{3kR}{1 + 9k^2}$
$3kR = 3\omega CR \times R = 3\omega CR^2$ です。
j の部分 $-\dfrac{3\omega CR^2}{1 + 9k^2}$ を、コイルの $\omega L$ で打ち消します。
$\omega L = \dfrac{3\omega CR^2}{1 + 9(\omega CR)^2}$
両辺を ω で割ります。
$L = \dfrac{3CR^2}{1 + 9(\omega CR)^2}$
答えは(2)ピヨ。
Y にすると、各相は R と 3C の並列になります。
■2 1相分で j の部分を0にする
R と 3C の並列のインピーダンスを計算します。$k = \omega CR$ とおきます。
$\dfrac{1}{\frac{1}{R} + \mathrm{j}3\omega C} = \dfrac{R}{1 + \mathrm{j}3k}$
分母の j を消すため、上と下に $1 - \mathrm{j}3k$ をかけます。
$= \dfrac{R(1 - \mathrm{j}3k)}{1 + 9k^2}$
$= \dfrac{R}{1 + 9k^2} - \mathrm{j}\dfrac{3kR}{1 + 9k^2}$
$3kR = 3\omega CR \times R = 3\omega CR^2$ です。
j の部分 $-\dfrac{3\omega CR^2}{1 + 9k^2}$ を、コイルの $\omega L$ で打ち消します。
$\omega L = \dfrac{3\omega CR^2}{1 + 9(\omega CR)^2}$
両辺を ω で割ります。
$L = \dfrac{3CR^2}{1 + 9(\omega CR)^2}$
答えは(2)ピヨ。
出典：平成23年度（2011） 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）理論 問15(a)