電験三種 平成22年度(2010) 理論 問13 過去問解説
図1は，静電容量 $C$[F]のコンデンサとコイルからなる共振回路の等価回路である。このようにコイルに内部抵抗 $r$[Ω]が存在する場合は，インダクタンス $L$[H]と抵抗 $r$[Ω]の直列回路として表すことができる。この直列回路は，コイルの抵抗 $r$[Ω]が，誘導性リアクタンス $\omega L$[Ω]に比べて十分小さいものとすると，図2のように，等価抵抗 $R_{\mathrm{p}}$[Ω]とインダクタンス $L$[H]の並列回路に変換することができる。このときの等価抵抗 $R_{\mathrm{p}}$[Ω]の値を表す式として，正しいのは次のうちどれか。
ただし，$I_{\mathrm{c}}$[A]は電流源の電流を表す。
- (1) $\dfrac{\omega L}{r}$
- (2) $\dfrac{r}{(\omega L)^2}$
- (3) $\dfrac{r^2}{\omega L}$
- (4) $\dfrac{(\omega L)^2}{r}$
- (5) $r(\omega L)^2$
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正解は(4)
使う公式
直列と並列の変換 $\dfrac{1}{r + \mathrm{j}\omega L} = \dfrac{r - \mathrm{j}\omega L}{r^2 + (\omega L)^2}$（r：コイルの抵抗[Ω]、ωL：コイルのリアクタンス[Ω]）
解説
【考え方】2つの回路が同じはたらきをするように、電流の流れやすさ（アドミタンス）を同じにします。
■1 直列回路の流れやすさ
$r$ と $\mathrm{j}\omega L$ の直列の流れやすさは、インピーダンスの逆数です。
分母と分子に $r - \mathrm{j}\omega L$ をかけて、分母から j を消します。
$\dfrac{1}{r + \mathrm{j}\omega L} = \dfrac{r - \mathrm{j}\omega L}{r^2 + (\omega L)^2}$
■2 r が小さいことを使う
$r$ は $\omega L$ よりずっと小さいので、分母は $(\omega L)^2$ と考えてよいです。
$\dfrac{r - \mathrm{j}\omega L}{(\omega L)^2} = \dfrac{r}{(\omega L)^2} - \mathrm{j}\dfrac{1}{\omega L}$
■3 並列回路とくらべる
並列回路の流れやすさは $\dfrac{1}{R_{\mathrm{p}}} - \mathrm{j}\dfrac{1}{\omega L}$ です。
後ろの部分は L そのものなので、前の部分どうしが等しくなります。
$\dfrac{1}{R_{\mathrm{p}}} = \dfrac{r}{(\omega L)^2}$ → $R_{\mathrm{p}} = \dfrac{(\omega L)^2}{r}$
答えは(4)ピヨ。
出典：平成22年度（2010） 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）理論 問13