電験三種 平成21年度(2009) 理論 問1 過去問解説
電極板面積と電極板間隔が共に $S$[m²]と $d$[m]で，一方は比誘電率が $\varepsilon_{r1}$ の誘電体からなる平行平板コンデンサ $C_1$ と，他方は比誘電率が $\varepsilon_{r2}$ の誘電体からなる平行平板コンデンサ $C_2$ がある。いま，これらを図のように並列に接続し，端子A，B間に直流電圧 $V_0$[V]を加えた。このとき，コンデンサ $C_1$ の電極板間の電界の強さを $E_1$[V/m]，電束密度を $D_1$[C/m²]，また，コンデンサ $C_2$ の電極板間の電界の強さを $E_2$[V/m]，電束密度を $D_2$[C/m²]とする。両コンデンサの電界の強さ $E_1$[V/m]と $E_2$[V/m]はそれぞれ（ア）であり，電束密度 $D_1$[C/m²]と $D_2$[C/m²]はそれぞれ（イ）である。したがって，コンデンサ $C_1$ に蓄えられる電荷を $Q_1$[C]，コンデンサ $C_2$ に蓄えられる電荷を $Q_2$[C]とすると，それらはそれぞれ（ウ）となる。
ただし，電極板の厚さ及びコンデンサの端効果は，無視できるものとする。また，真空の誘電率を $\varepsilon_0$[F/m]とする。
上記の記述中の空白箇所（ア），（イ）及び（ウ）に当てはまる式として，正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。
- (1) （ア）$E_1 = \dfrac{\varepsilon_{r1}}{d}V_0$，$E_2 = \dfrac{\varepsilon_{r2}}{d}V_0$，（イ）$D_1 = \dfrac{\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$，$D_2 = \dfrac{\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$，（ウ）$Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$，$Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$
- (2) （ア）$E_1 = \dfrac{\varepsilon_{r1}}{d}V_0$，$E_2 = \dfrac{\varepsilon_{r2}}{d}V_0$，（イ）$D_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}V_0$，$D_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}V_0$，（ウ）$Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$，$Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$
- (3) （ア）$E_1 = \dfrac{V_0}{d}$，$E_2 = \dfrac{V_0}{d}$，（イ）$D_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$，$D_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$，（ウ）$Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}V_0$，$Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}V_0$
- (4) （ア）$E_1 = \dfrac{V_0}{d}$，$E_2 = \dfrac{V_0}{d}$，（イ）$D_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}V_0$，$D_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}V_0$，（ウ）$Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$，$Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$
- (5) （ア）$E_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$，$E_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$，（イ）$D_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}V_0$，$D_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}V_0$，（ウ）$Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0}{d}SV_0$，$Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0}{d}SV_0$
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正解は(4)
使う公式
平行平板コンデンサ $E = \dfrac{V}{d}$、$D = \varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}E$、$Q = DS$（E：電界[V/m]、V：電圧[V]、d：極板の間の距離[m]、D：電束密度[C/m²]、ε₀：真空の誘電率[F/m]、εr：比誘電率、Q：電荷[C]、S：面積[m²]）
解説
【考え方】並列なので、2つのコンデンサには同じ電圧 $V_0$ がかかります。E → D → Q の順に出します。
■1 (ア) 電界の強さ
電界は「電圧 ÷ 極板の間の距離」です。
$E_1 = E_2 = \dfrac{V_0}{d}$
誘電体（極板の間に入れた絶縁物）の種類によりません。→ (ア) $E_1 = E_2 = \dfrac{V_0}{d}$
■2 (イ) 電束密度
電束密度は「誘電率 × 電界」です。誘電率は $\varepsilon_0\varepsilon_r$ です。
$D_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}V_0$、$D_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}V_0$ → (イ)
■3 (ウ) 電荷
電荷は「電束密度 × 面積」です。
$Q_1 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$、$Q_2 = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$ → (ウ)
答えは(4)ピヨ。
出典：平成21年度（2009） 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）理論 問1