電験三種 平成21年度(2009) 理論 問7 過去問解説
図のように抵抗，コイル，コンデンサからなる負荷がある。この負荷に線間電圧 $\dot{V}_{ab} = 100\angle 0^\circ$[V]，$\dot{V}_{bc} = 100\angle 0^\circ$[V]，$\dot{V}_{ac} = 200\angle 0^\circ$[V]の単相3線式交流電源を接続したところ，端子a，端子b，端子cを流れる線電流はそれぞれ $\dot{I}_a$[A]，$\dot{I}_b$[A]及び $\dot{I}_c$[A]であった。$\dot{I}_a$[A]，$\dot{I}_b$[A]，$\dot{I}_c$[A]の大きさをそれぞれ $I_a$[A]，$I_b$[A]，$I_c$[A]としたとき，これらの大小関係を表す式として，正しいのは次のうちどれか。
- (1) $I_a = I_c \gt I_b$
- (2) $I_a \gt I_c \gt I_b$
- (3) $I_b \gt I_c \gt I_a$
- (4) $I_b \gt I_a \gt I_c$
- (5) $I_c \gt I_a \gt I_b$
答えと解説を見る
正解は(2)
使う公式
オームの法則（交流） $\dot{I} = \dfrac{\dot{V}}{\dot{Z}}$（İ：電流[A]、V̇：電圧[V]、Ż：インピーダンス（交流の流れにくさ）[Ω]。j はコイル（＋）・コンデンサ（−）の分）
分かれ目の電流（キルヒホッフの第1法則） $\dot{I}_{\mathrm{in}} = \dot{I}_{\mathrm{out}}$（流れこむ電流の合計と、流れ出る電流の合計は等しい）
解説
【考え方】まず3つの負荷の電流を複素数（実部と j の部分）で出します。次に、分かれ目ごとに足し引きして線電流を出します。
■1 負荷ごとの電流
分母の j を消すため、分母と分子に「j の符号を逆にした数」をかけます。
分母は $(a + \mathrm{j}b)(a - \mathrm{j}b) = a^2 + b^2$ になり、j が消えます。
$\dot{I}_{ab} = \dfrac{100}{3 + \mathrm{j}4} = \dfrac{100(3 - \mathrm{j}4)}{3^2 + 4^2}$
$= \dfrac{100(3 - \mathrm{j}4)}{25} = 12 - \mathrm{j}16$
$\dot{I}_{bc} = \dfrac{100}{4 - \mathrm{j}3} = \dfrac{100(4 + \mathrm{j}3)}{4^2 + 3^2}$
$= \dfrac{100(4 + \mathrm{j}3)}{25} = 16 + \mathrm{j}12$
$\dot{I}_{ac} = \dfrac{200}{8 + \mathrm{j}6} = \dfrac{200(8 - \mathrm{j}6)}{8^2 + 6^2}$
$= \dfrac{200(8 - \mathrm{j}6)}{100} = 16 - \mathrm{j}12$
■2 線電流の大きさ
a は2つの負荷へ分かれます。
$\dot{I}_a = \dot{I}_{ab} + \dot{I}_{ac} = 28 - \mathrm{j}28$
大きさ $\sqrt{28^2 + 28^2} = 28\sqrt{2} \fallingdotseq 39.6\,\mathrm{A}$
b は上から来た電流と下へ行く電流の差です。
$\dot{I}_b = \dot{I}_{bc} - \dot{I}_{ab} = 4 + \mathrm{j}28$
大きさ $\sqrt{4^2 + 28^2} = \sqrt{800} \fallingdotseq 28.3\,\mathrm{A}$
c は2つの負荷から流れてきます。
$\dot{I}_c = \dot{I}_{bc} + \dot{I}_{ac} = 32$（j の部分は打ち消し合います）
大きさ $32\,\mathrm{A}$
■3 くらべる
$I_a \gt I_c \gt I_b$ です。
答えは(2)ピヨ。
分母の j を消すため、分母と分子に「j の符号を逆にした数」をかけます。
分母は $(a + \mathrm{j}b)(a - \mathrm{j}b) = a^2 + b^2$ になり、j が消えます。
$\dot{I}_{ab} = \dfrac{100}{3 + \mathrm{j}4} = \dfrac{100(3 - \mathrm{j}4)}{3^2 + 4^2}$
$= \dfrac{100(3 - \mathrm{j}4)}{25} = 12 - \mathrm{j}16$
$\dot{I}_{bc} = \dfrac{100}{4 - \mathrm{j}3} = \dfrac{100(4 + \mathrm{j}3)}{4^2 + 3^2}$
$= \dfrac{100(4 + \mathrm{j}3)}{25} = 16 + \mathrm{j}12$
$\dot{I}_{ac} = \dfrac{200}{8 + \mathrm{j}6} = \dfrac{200(8 - \mathrm{j}6)}{8^2 + 6^2}$
$= \dfrac{200(8 - \mathrm{j}6)}{100} = 16 - \mathrm{j}12$
■2 線電流の大きさ
a は2つの負荷へ分かれます。
$\dot{I}_a = \dot{I}_{ab} + \dot{I}_{ac} = 28 - \mathrm{j}28$
大きさ $\sqrt{28^2 + 28^2} = 28\sqrt{2} \fallingdotseq 39.6\,\mathrm{A}$
b は上から来た電流と下へ行く電流の差です。
$\dot{I}_b = \dot{I}_{bc} - \dot{I}_{ab} = 4 + \mathrm{j}28$
大きさ $\sqrt{4^2 + 28^2} = \sqrt{800} \fallingdotseq 28.3\,\mathrm{A}$
c は2つの負荷から流れてきます。
$\dot{I}_c = \dot{I}_{bc} + \dot{I}_{ac} = 32$（j の部分は打ち消し合います）
大きさ $32\,\mathrm{A}$
■3 くらべる
$I_a \gt I_c \gt I_b$ です。
答えは(2)ピヨ。
出典：平成21年度（2009） 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）理論 問7