電験三種 平成21年度(2009) 法規 問11(a) 過去問解説
図に示すような，相電圧 $E$[V]，周波数 $f$[Hz]の対称三相3線式低圧電路があり，変圧器の中性点にB種接地工事が施されている。B種接地工事の接地抵抗値を $R_B$[Ω]，電路の一相当たりの対地静電容量を $C$[F]とする。
この電路の絶縁抵抗が劣化により，電路の一相のみが絶縁抵抗値 $R_G$[Ω]に低下した。このとき，次の(a)及び(b)に答えよ。
ただし，上記以外のインピーダンスは無視するものとする。
(a) 劣化により一相のみが絶縁抵抗値 $R_G$[Ω]に低下したとき，B種接地工事の接地線に流れる電流の大きさを $I_B$[A]とする。この $I_B$ を表す式として，正しいのは次のうちどれか。
ただし，他の相の対地コンダクタンスは無視するものとする。
- (1) $\dfrac{E}{\sqrt{R_B^2 + 36\pi^2f^2C^2R_B^2R_G^2}}$
- (2) $\dfrac{3E}{\sqrt{(R_G + R_B)^2 + 4\pi^2f^2C^2R_B^2R_G^2}}$
- (3) $\dfrac{E}{\sqrt{(R_G + R_B)^2 + 4\pi^2f^2C^2R_B^2R_G^2}}$
- (4) $\dfrac{E}{\sqrt{R_G^2 + 36\pi^2f^2C^2R_B^2R_G^2}}$
- (5) $\dfrac{E}{\sqrt{(R_G + R_B)^2 + 36\pi^2f^2C^2R_B^2R_G^2}}$
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正解は(5)
使う公式
コンデンサのリアクタンス $X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{2\pi fC}$（ω：角周波数[rad/s]、f：周波数[Hz]、C：静電容量[F]）
並列の分流 $I_B = I_g \times \dfrac{Z}{R_B}$（$I_g$：地絡電流[A]、$Z$：$R_B$ と 3C の並列のインピーダンス[Ω]）
解説
【考え方】地絡した相の電圧 E が、$R_G$ を通して大地に電流を流します。大地から中性点へもどる道は、$R_B$ と3相分の C です。
■1 等価回路をつくる
3相の C は、どれも大地とつながっています。大地から見ると並列なので、合わせて 3C です。
■2 I_B の式を出す
$R_B$ と 3C の並列に、$R_G$ が直列につながっています。
$R_B$ と 3C の並列のインピーダンス（交流の流れにくさ）を $\dot{Z}$ とします。
$\dot{Z} = \dfrac{R_B}{1 + \mathrm{j}\,3\omega CR_B}$
地絡電流（$R_G$ を流れる電流）は次のとおりです。
$\dot{I}_g = \dfrac{E}{R_G + \dot{Z}}$
並列部分の電圧は $\dot{I}_g\dot{Z}$ です。これを $R_B$ で割ると、$R_B$ に流れる分になります。
$\dot{I}_B = \dfrac{\dot{I}_g\dot{Z}}{R_B}$
$\dot{Z}$ を入れ、分母と分子に $(1 + \mathrm{j}\,3\omega CR_B)$ をかけて整理します。
$\dot{I}_B = \dfrac{E}{R_G(1 + \mathrm{j}\,3\omega CR_B) + R_B}$
$= \dfrac{E}{(R_G + R_B) + \mathrm{j}\,3\omega CR_BR_G}$
大きさは、実部と虚部を2乗して足し、√ をとります。$3\omega = 6\pi f$ です。
$I_B = \dfrac{E}{\sqrt{(R_G + R_B)^2 + (6\pi fCR_BR_G)^2}}$
$I_B = \dfrac{E}{\sqrt{(R_G + R_B)^2 + 36\pi^2f^2C^2R_B^2R_G^2}}$
答えは(5)ピヨ。
3相の C は、どれも大地とつながっています。大地から見ると並列なので、合わせて 3C です。
■2 I_B の式を出す
$R_B$ と 3C の並列に、$R_G$ が直列につながっています。
$R_B$ と 3C の並列のインピーダンス（交流の流れにくさ）を $\dot{Z}$ とします。
$\dot{Z} = \dfrac{R_B}{1 + \mathrm{j}\,3\omega CR_B}$
地絡電流（$R_G$ を流れる電流）は次のとおりです。
$\dot{I}_g = \dfrac{E}{R_G + \dot{Z}}$
並列部分の電圧は $\dot{I}_g\dot{Z}$ です。これを $R_B$ で割ると、$R_B$ に流れる分になります。
$\dot{I}_B = \dfrac{\dot{I}_g\dot{Z}}{R_B}$
$\dot{Z}$ を入れ、分母と分子に $(1 + \mathrm{j}\,3\omega CR_B)$ をかけて整理します。
$\dot{I}_B = \dfrac{E}{R_G(1 + \mathrm{j}\,3\omega CR_B) + R_B}$
$= \dfrac{E}{(R_G + R_B) + \mathrm{j}\,3\omega CR_BR_G}$
大きさは、実部と虚部を2乗して足し、√ をとります。$3\omega = 6\pi f$ です。
$I_B = \dfrac{E}{\sqrt{(R_G + R_B)^2 + (6\pi fCR_BR_G)^2}}$
$I_B = \dfrac{E}{\sqrt{(R_G + R_B)^2 + 36\pi^2f^2C^2R_B^2R_G^2}}$
答えは(5)ピヨ。
出典：平成21年度（2009） 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）法規 問11(a)