電験三種 令和元年度(2019) 理論 問15(b) 過去問解説
図のように，平らで十分大きい導体でできた床から高さ $h$[m]の位置に正の電気量 $Q$[C]をもつ点電荷がある。次の(a)及び(b)の問に答えよ。ただし，点電荷から床に下ろした垂線の足を点O，床より上側の空間は真空とし，床の導体は接地されている。真空の誘電率を $\varepsilon_0$[F/m]とする。
(b) 点電荷は床表面に現れた面電荷から鉛直方向の静電吸引力 $F$[N]を受ける。その力は床のない状態で点Oに固定した電気量 $-\dfrac{Q}{4}$[C]の点電荷から受ける静電力に等しい。$F$[N]に逆らって，点電荷を高さ $h$[m]から $z$[m]（ただし $h \lt z$）まで鉛直方向に引き上げるのに必要な仕事 $W$[J]を表す式として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
- (1) $\dfrac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 z^2}$
- (2) $\dfrac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{h} - \dfrac{1}{z}\right)$
- (3) $\dfrac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{h} - \dfrac{1}{z}\right)$
- (4) $\dfrac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 z^2}$
- (5) $\dfrac{Q^2}{\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{h^2} - \dfrac{1}{z^2}\right)$
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正解は(3)
使う公式
点電荷のまわりの電位 $V = \dfrac{Q'}{4\pi\varepsilon_0 r}$（Q′：電荷[C]、r：距離[m]、ε₀：真空の誘電率[F/m]）
電荷を動かす仕事 $W = Q \times (V_{\text{終}} - V_{\text{始}})$（Q：動かす電荷[C]、V：電位[V]）
解説
【考え方】床の電荷の力は、点Oに置いた $-\dfrac{Q}{4}$ の電荷の力と同じです。だから、その電荷のまわりの電位を使って、仕事を計算できます。
■1 −Q/4 がつくる電位
点Oからの距離を r とします。マイナスの電荷なので、電位もマイナスです。
$V(r) = \dfrac{-Q/4}{4\pi\varepsilon_0 r} = -\dfrac{Q}{16\pi\varepsilon_0 r}$
■2 h から z まで動かす仕事
高い所ほど、電位はマイナスが小さく（高く）なります。
上げるには、その差の分だけ仕事が必要です。
$W = Q\left\{\left(-\dfrac{Q}{16\pi\varepsilon_0 z}\right) - \left(-\dfrac{Q}{16\pi\varepsilon_0 h}\right)\right\}$
$W = -\dfrac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 z} + \dfrac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 h}$
$W = \dfrac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{h} - \dfrac{1}{z}\right)$
答えは(3)ピヨ。
点Oからの距離を r とします。マイナスの電荷なので、電位もマイナスです。
$V(r) = \dfrac{-Q/4}{4\pi\varepsilon_0 r} = -\dfrac{Q}{16\pi\varepsilon_0 r}$
■2 h から z まで動かす仕事
高い所ほど、電位はマイナスが小さく（高く）なります。
上げるには、その差の分だけ仕事が必要です。
$W = Q\left\{\left(-\dfrac{Q}{16\pi\varepsilon_0 z}\right) - \left(-\dfrac{Q}{16\pi\varepsilon_0 h}\right)\right\}$
$W = -\dfrac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 z} + \dfrac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 h}$
$W = \dfrac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{h} - \dfrac{1}{z}\right)$
答えは(3)ピヨ。
出典：令和元年度（2019） 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）理論 問15(b)