電験三種 令和4年度(2022) 下期 理論 問7 過去問解説
20 ℃における抵抗値が $R_1$[Ω]，抵抗温度係数が $\alpha_1$[℃⁻¹]の抵抗器Aと20 ℃における抵抗値が $R_2$[Ω]，抵抗温度係数が $\alpha_2 = 0$ ℃⁻¹の抵抗器Bが並列に接続されている。その20 ℃と21 ℃における並列抵抗値をそれぞれ $r_{20}$[Ω]，$r_{21}$[Ω]とし，$\dfrac{r_{21} - r_{20}}{r_{20}}$ を変化率とする。この変化率として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
- (1) $\dfrac{\alpha_1 R_1 R_2}{R_1 + R_2 + \alpha_1^2 R_1}$
- (2) $\dfrac{\alpha_1 R_2}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1}$
- (3) $\dfrac{\alpha_1 R_1}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1}$
- (4) $\dfrac{\alpha_1 R_2}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_2}$
- (5) $\dfrac{\alpha_1 R_1}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_2}$
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正解は(2)
使う公式
温度による抵抗の変化 $R_{21} = R_{20}(1 + \alpha \times 1)$（α：抵抗温度係数（1 ℃上がると何倍ふえるか）[℃⁻¹]）
並列の合成抵抗 $r = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$
解説
【考え方】20 ℃と21 ℃の並列抵抗をそれぞれ式にし、変化率の式に入れて整理します。
■1 21 ℃の抵抗
A は1 ℃上がるので $R_1(1 + \alpha_1)$ になります。
B は $\alpha_2 = 0$ なので $R_2$ のままです。
■2 2つの並列抵抗
$r_{20} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$
$r_{21} = \dfrac{R_1(1 + \alpha_1) R_2}{R_1(1 + \alpha_1) + R_2}$
■3 割り算する
変化率は $\dfrac{r_{21}}{r_{20}} - 1$ と同じです。
$r_{21}$ を $r_{20}$ で割ると、上下の $R_1 R_2$ が消えます。
$\dfrac{r_{21}}{r_{20}} = \dfrac{(1 + \alpha_1)(R_1 + R_2)}{R_1(1 + \alpha_1) + R_2}$
分母を展開すると $R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1$ です。
$\dfrac{r_{21}}{r_{20}} = \dfrac{(1 + \alpha_1)(R_1 + R_2)}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1}$
■4 1を引く
1を引くと、分母は同じで、分子は「元の分子 − 分母」になります。
元の分子を展開します。
$(1 + \alpha_1)(R_1 + R_2)$
$= R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1 + \alpha_1 R_2$
ここから分母 $R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1$ を引くと
$\alpha_1 R_2$ だけが残ります。
変化率 $= \dfrac{\alpha_1 R_2}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1}$
答えは(2)ピヨ。
出典：令和4年度（2022） 下期 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）理論 問7