電験三種 令和5年度(2023) 上期 理論 問17(a) 過去問解説
（選択問題：問17または問18のどちらか1問を解く）
図のように，極板間の厚さ $d$[m]，表面積 $S$[m²]の平行板コンデンサAとBがある。コンデンサAの内部は，比誘電率と厚さが異なる3種類の誘電体で構成され，極板と各誘電体の水平方向の断面積は同一である。コンデンサBの内部は，比誘電率と水平方向の断面積が異なる3種類の誘電体で構成されている。コンデンサAの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ $E_{\mathrm{A1}}$，$E_{\mathrm{A2}}$，$E_{\mathrm{A3}}$，コンデンサBの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ $E_{\mathrm{B1}}$，$E_{\mathrm{B2}}$，$E_{\mathrm{B3}}$ とし，端効果，初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。また，真空の誘電率を $\varepsilon_0$[F/m]とする。両コンデンサの上側の極板に電圧 $V$[V]の直流電源を接続し，下側の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(a) コンデンサAにおける各誘電体内部の電界の強さの大小関係とその中の最大値の組合せとして，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
- (1) $E_{\mathrm{A1}} \gt E_{\mathrm{A2}} \gt E_{\mathrm{A3}}$，$\dfrac{3V}{5d}$
- (2) $E_{\mathrm{A1}} \lt E_{\mathrm{A2}} \lt E_{\mathrm{A3}}$，$\dfrac{3V}{5d}$
- (3) $E_{\mathrm{A1}} = E_{\mathrm{A2}} = E_{\mathrm{A3}}$，$\dfrac{V}{d}$
- (4) $E_{\mathrm{A1}} \gt E_{\mathrm{A2}} \gt E_{\mathrm{A3}}$，$\dfrac{9V}{5d}$
- (5) $E_{\mathrm{A1}} \lt E_{\mathrm{A2}} \lt E_{\mathrm{A3}}$，$\dfrac{9V}{5d}$
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正解は(4)
使う公式
電束密度と電界 $E = \dfrac{D}{\varepsilon}$（層を重ねると、どの層も同じ D が通る）
電圧の合計 $V = E_1 d_1 + E_2 d_2 + E_3 d_3$（各層の「電界 × 厚さ」を足す）
解説
【考え方】Aは層が上下に重なっているので、どの層にも同じ電束密度 D が通ります。電界は誘電率に反比例します。
■1 層ごとの電界の比
比誘電率は上から2・3・6なので、電界の比は
$\dfrac{1}{2} : \dfrac{1}{3} : \dfrac{1}{6} = 3 : 2 : 1$
$E_{\mathrm{A3}} = x$ とおくと、$E_{\mathrm{A2}} = 2x$、$E_{\mathrm{A1}} = 3x$ です。
大小は $E_{\mathrm{A1}} \gt E_{\mathrm{A2}} \gt E_{\mathrm{A3}}$ です。
■2 電圧の合計から x を出す
厚さは上から $\dfrac{d}{6}$、$\dfrac{d}{3}$、$\dfrac{d}{2}$ です。
$3x \times \dfrac{d}{6} + 2x \times \dfrac{d}{3} + x \times \dfrac{d}{2} = V$
$\dfrac{xd}{2} + \dfrac{2xd}{3} + \dfrac{xd}{2} = V$
通分すると $\dfrac{3}{6} + \dfrac{4}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3}$ です。
$\dfrac{5}{3}xd = V$
$x = \dfrac{3V}{5d}$
■3 いちばん大きい電界
いちばん誘電率の小さい上の層が最大です。
$E_{\mathrm{A1}} = 3x = \dfrac{9V}{5d}$
答えは(4)ピヨ。
比誘電率は上から2・3・6なので、電界の比は
$\dfrac{1}{2} : \dfrac{1}{3} : \dfrac{1}{6} = 3 : 2 : 1$
$E_{\mathrm{A3}} = x$ とおくと、$E_{\mathrm{A2}} = 2x$、$E_{\mathrm{A1}} = 3x$ です。
大小は $E_{\mathrm{A1}} \gt E_{\mathrm{A2}} \gt E_{\mathrm{A3}}$ です。
■2 電圧の合計から x を出す
厚さは上から $\dfrac{d}{6}$、$\dfrac{d}{3}$、$\dfrac{d}{2}$ です。
$3x \times \dfrac{d}{6} + 2x \times \dfrac{d}{3} + x \times \dfrac{d}{2} = V$
$\dfrac{xd}{2} + \dfrac{2xd}{3} + \dfrac{xd}{2} = V$
通分すると $\dfrac{3}{6} + \dfrac{4}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3}$ です。
$\dfrac{5}{3}xd = V$
$x = \dfrac{3V}{5d}$
■3 いちばん大きい電界
いちばん誘電率の小さい上の層が最大です。
$E_{\mathrm{A1}} = 3x = \dfrac{9V}{5d}$
答えは(4)ピヨ。
出典：令和5年度（2023） 上期 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）理論 問17(a)