電験三種 令和6年度(2024) 上期 理論 問13 過去問解説
図1は，静電容量 $C$[F]のコンデンサとコイルからなる共振回路の等価回路である。このようにコイルに内部抵抗 $r$[Ω]が存在する場合は，インダクタンス $L$[H]と抵抗 $r$[Ω]の直列回路として表すことができる。この直列回路は，コイルの抵抗 $r$[Ω]が，誘導性リアクタンス $\omega L$[Ω]に比べて十分小さいものとすると，図2のように，等価抵抗 $R_{\mathrm{p}}$[Ω]とインダクタンス $L$[H]の並列回路に変換することができる。このときの等価抵抗 $R_{\mathrm{p}}$[Ω]の値を表す式として，正しいのは次のうちどれか。
ただし，$I_{\mathrm{c}}$[A]は電流源の電流を表す。
- (1) $\dfrac{\omega L}{r}$
- (2) $\dfrac{r}{(\omega L)^2}$
- (3) $\dfrac{(\omega L)^2}{r}$
- (4) $\dfrac{r^2}{\omega L}$
- (5) $r(\omega L)^2$
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正解は(3)
使う公式
直列回路のアドミタンス $\dot{Y} = \dfrac{1}{r + j\omega L} = \dfrac{r - j\omega L}{r^2 + (\omega L)^2}$（$r$：抵抗[Ω]、$\omega L$：誘導性リアクタンス[Ω]）
並列回路のアドミタンス $\dot{Y} = \dfrac{1}{R_{\mathrm{p}}} - j\dfrac{1}{\omega L}$
解説
【考え方】直列回路と並列回路を、アドミタンス（電流の通りやすさ）で表して、くらべます。
■1 直列回路のアドミタンス
$\dot{Y} = \dfrac{1}{r + j\omega L}$
分母と分子に $r - j\omega L$ をかけて、分母から j を消します。
$\dot{Y} = \dfrac{r - j\omega L}{r^2 + (\omega L)^2}$
$= \dfrac{r}{r^2 + (\omega L)^2} - j\dfrac{\omega L}{r^2 + (\omega L)^2}$
■2 r が小さいことを使う
$r$ は $\omega L$ よりずっと小さいので、分母の $r^2$ を無視します。
$r^2 + (\omega L)^2 \fallingdotseq (\omega L)^2$
$\dot{Y} \fallingdotseq \dfrac{r}{(\omega L)^2} - j\dfrac{1}{\omega L}$
■3 並列回路とくらべる
並列回路は $\dot{Y} = \dfrac{1}{R_{\mathrm{p}}} - j\dfrac{1}{\omega L}$ です。
j のつかない部分（抵抗の分）どうしが等しいので
$\dfrac{1}{R_{\mathrm{p}}} = \dfrac{r}{(\omega L)^2}$
$R_{\mathrm{p}} = \dfrac{(\omega L)^2}{r}$
j のつく部分は、並列のインダクタンス L を表しています。
答えは(3)ピヨ。
出典：令和6年度（2024） 上期 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）理論 問13