電験三種 平成21年度(2009) 機械 問16(b) 過去問解説
図1は，IGBTを用いた単相ブリッジ接続の電圧形インバータを示す。直流電圧 $E_d$[V]は，一定値と見なせる。出力端子には，インダクタンス $L$[H]で抵抗値 $R$[Ω]の誘導性負荷が接続されている。
図2は，このインバータの動作波形である。時刻 $t = 0$[s]でIGBT $\mathrm{Q_3}$ 及び $\mathrm{Q_4}$ のゲート信号をオフにするとともに $\mathrm{Q_1}$ 及び $\mathrm{Q_2}$ のゲート信号をオンにすると，出力電圧 $v_a$[V]は $E_d$[V]となる。$t = \dfrac{T}{2}$[s]で $\mathrm{Q_1}$ 及び $\mathrm{Q_2}$ のゲート信号をオフにするとともに $\mathrm{Q_3}$ 及び $\mathrm{Q_4}$ のゲート信号をオンにすると，$v_a$[V]は $-E_d$[V]となる。これを周期 $T$[s]で繰り返して方形波電圧を出力する。
出力電流 $i_a$[A]は，$t = 0$[s]で $-I_p$[A]になっているものとする。負荷の時定数は $\tau = \dfrac{L}{R}$[s]である。$t = 0 \sim \dfrac{T}{2}$[s]では，時間の関数 $i_a(t)$ は次式となる。
$i_a(t) = -I_p\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} + \dfrac{E_d}{R}\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\right)$
定常的に動作しているときには，周期条件から $t = \dfrac{T}{2}$[s]で出力電流は $I_p$[A]となり，次式が成り立つ。
$i_a\left(\dfrac{T}{2}\right) = -I_p\mathrm{e}^{-\frac{T}{2\tau}} + \dfrac{E_d}{R}\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{T}{2\tau}}\right) = I_p$
このとき，次の(a)及び(b)に答えよ。
ただし，バルブデバイス（IGBT及びダイオード）での電圧降下は無視するものとする。
(b) $E_d = 200$[V]，$L = 10$[mH]，$R = 2.0$[Ω]，$T = 10$[ms]としたとき，$I_p$[A]の値として，最も近いのは次のうちどれか。
ただし，$\mathrm{e} = 2.718$ とする。
- (1) 32
- (2) 46
- (3) 63
- (4) 76
- (5) 92
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正解は(2)
使う公式
周期の条件 $-I_p\mathrm{e}^{-\frac{T}{2\tau}} + \dfrac{E_d}{R}\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{T}{2\tau}}\right) = I_p$（τ ＝ L/R：時定数[s]）
解説
【考え方】周期の条件の式に数字を入れて、$I_p$ について解きます。まず $\dfrac{T}{2\tau}$ を出すと、式がかんたんになります。
■1 数字を整理する
$E_d = 200\,\mathrm{V}$、$L = 10\,\mathrm{mH} = 10 \times 10^{-3}\,\mathrm{H}$、$R = 2.0\,\Omega$、$T = 10\,\mathrm{ms}$
時定数 $\tau = \dfrac{L}{R} = \dfrac{10 \times 10^{-3}}{2.0} = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s} = 5\,\mathrm{ms}$
$\dfrac{T}{2} = 5\,\mathrm{ms}$ なので、$\dfrac{T}{2\tau} = 1$ です。
■2 式に入れる
$\mathrm{e}^{-1} = \dfrac{1}{2.718} \fallingdotseq 0.368$
$\dfrac{E_d}{R} = \dfrac{200}{2.0} = 100\,\mathrm{A}$
$-0.368I_p + 100 \times (1 - 0.368) = I_p$
■3 $I_p$ を求める
$100 \times 0.632 = I_p + 0.368I_p$
$63.2 = 1.368I_p$
$I_p = \dfrac{63.2}{1.368} \fallingdotseq 46\,\mathrm{A}$
答えは(2)ピヨ。
出典：平成21年度（2009） 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）機械 問16(b)