電験三種 平成24年度(2012) 理論 問12 過去問解説
次の文章は，図に示す「磁界中における電子の運動」に関する記述である。
真空中において，磁束密度 $B$[T]の一様な磁界が紙面と平行な平面の（ア）へ垂直に加わっている。ここで，平面上の点aに電荷 $-e$[C]，質量 $m_0$[kg]の電子をおき，図に示す向きに速さ $v$[m/s]の初速度を与えると，電子は初速度の向き及び磁界の向きのいずれに対しても垂直で図に示す向きの電磁力 $F_{\mathrm{A}}$[N]を受ける。この力のために電子は加速度を受けるが速度の大きさは変わらないので，その方向のみが変化する。したがって，電子はこの平面上で時計回りに速さ $v$[m/s]の円運動をする。この円の半径を $r$[m]とすると，電子の運動は，磁界が電子に作用する電磁力の大きさ $F_{\mathrm{A}} = Bev$[N]と遠心力 $F_{\mathrm{B}} = \dfrac{m_0}{r}v^2$[N]とが釣り合った円運動であるので，その半径は $r =$（イ）[m]と計算される。したがって，この円運動の周期は $T =$（ウ）[s]，角周波数は $\omega =$（エ）[rad/s]となる。
ただし，電子の速さ $v$[m/s]は，光速より十分小さいものとする。また，重力の影響は無視できるものとする。
上記の記述中の空白箇所（ア），（イ），（ウ）及び（エ）に当てはまる組合せとして，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
- (1) （ア）裏からおもて，（イ）$\dfrac{m_0 v}{eB^2}$，（ウ）$\dfrac{2\pi m_0}{eB}$，（エ）$\dfrac{eB}{m_0}$
- (2) （ア）おもてから裏，（イ）$\dfrac{m_0 v}{eB}$，（ウ）$\dfrac{2\pi m_0}{eB}$，（エ）$\dfrac{eB}{m_0}$
- (3) （ア）おもてから裏，（イ）$\dfrac{m_0 v}{eB}$，（ウ）$\dfrac{2\pi m_0}{e^2 B}$，（エ）$\dfrac{2e^2 B}{m_0}$
- (4) （ア）おもてから裏，（イ）$\dfrac{2m_0 v}{eB}$，（ウ）$\dfrac{2\pi m_0}{eB^2}$，（エ）$\dfrac{eB^2}{m_0}$
- (5) （ア）裏からおもて，（イ）$\dfrac{m_0 v}{2eB}$，（ウ）$\dfrac{\pi m_0}{eB}$，（エ）$\dfrac{eB}{m_0}$
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正解は(2)
使う公式
電子が磁界から受ける力 $F = Bev$
円運動の遠心力 $F = \dfrac{m_0 v^2}{r}$
周期 $T = \dfrac{2\pi r}{v}$
角周波数 $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$（B：磁束密度[T]、e：電子の電荷の大きさ[C]、v：速さ[m/s]、m₀：質量[kg]、r：半径[m]）
解説
【考え方】(ア)は力の向き、(イ)〜(エ)は「磁界の力＝遠心力」の式から順に出します。
■1 磁界の向き (ア)
フレミングの左手の法則を使います。
電子はマイナスなので、電流の向きは電子の動きと反対（図で上向き）です。
力が左向きになるのは、磁界が紙の「おもてから裏」へ向かうときです。→ (ア) おもてから裏
■2 半径 (イ)
2つの力がつり合うので、
$Bev = \dfrac{m_0 v^2}{r}$
r について解くと、
$r = \dfrac{m_0 v^2}{Bev} = \dfrac{m_0 v}{eB}$ → (イ) $\dfrac{m_0 v}{eB}$
■3 周期 (ウ)
1周の長さ $2\pi r$ を速さ v で割ります。
$T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi}{v} \times \dfrac{m_0 v}{eB} = \dfrac{2\pi m_0}{eB}$ → (ウ) $\dfrac{2\pi m_0}{eB}$
v が消えるのがポイントです。
■4 角周波数 (エ)
$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi \times \dfrac{eB}{2\pi m_0} = \dfrac{eB}{m_0}$ → (エ) $\dfrac{eB}{m_0}$
答えは(2)ピヨ。
出典：平成24年度（2012） 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）理論 問12