電験三種 平成26年度(2014) 理論 問17(b) 過去問解説
（選択問題：問17または問18のどちらか1問を解く）
図のように，真空中において二つの小さな物体A，Bが距離 $r$[m]を隔てて鉛直線上に置かれている。Aは固定されており，Aの真下にBがある。物体A，Bはそれぞれ，質量 $m_{\mathrm{A}}$[kg]，$m_{\mathrm{B}}$[kg]をもち，電荷 $+q_{\mathrm{A}}$[C]，$-q_{\mathrm{B}}$[C]を帯びている。$q_{\mathrm{A}} \gt 0$，$q_{\mathrm{B}} \gt 0$ とし，真空の誘電率を $\varepsilon_0$[F/m]とする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし，小問(a)においては重力加速度 $g$[m/s²]の重力を，小問(b)においては無重力を，それぞれ仮定する。物体A，Bの間の万有引力は無視する。
(b) 無重力のもとでBを下向きの初速度 $v_{\mathrm{B}}$[m/s]で放ったとき，Bは下降を始めたが，途中で速度の向きが変わり上昇に転じた。このときの条件を表す式として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
- (1) $\dfrac{1}{2}m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}}^2 \lt \dfrac{q_{\mathrm{A}}q_{\mathrm{B}}}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$
- (2) $\dfrac{1}{2}m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}}^2 \lt \dfrac{q_{\mathrm{A}}q_{\mathrm{B}}}{4\pi\varepsilon_0 r}$
- (3) $m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}} \lt \dfrac{q_{\mathrm{A}}q_{\mathrm{B}}}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$
- (4) $m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}} \lt \dfrac{q_{\mathrm{A}}q_{\mathrm{B}}}{4\pi\varepsilon_0 r}$
- (5) $\dfrac{1}{2}m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}} \lt \dfrac{q_{\mathrm{A}}q_{\mathrm{B}}}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$
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正解は(2)
使う公式
運動エネルギー $\dfrac{1}{2}mv^2$、2つの電荷の位置エネルギー $U = -\dfrac{q_{\mathrm{A}}q_{\mathrm{B}}}{4\pi\varepsilon_0 r}$（m：質量[kg]、v：速さ[m/s]、r：距離[m]）
解説
【考え方】エネルギーでくらべます。B の運動エネルギーが、A から逃げきるのに必要なエネルギーより小さければ、途中でもどってきます。
■1 B の動き
B は下へ動きますが、A に引っぱられて、だんだん遅くなります。
■2 逃げきるのに必要なエネルギー
B が無限に遠くまで逃げるには、A の引力にさからう仕事が必要です。
その大きさは $\dfrac{q_{\mathrm{A}}q_{\mathrm{B}}}{4\pi\varepsilon_0 r}$ です（距離 r から無限に遠くまで離すのに必要なエネルギー）。
■3 もどってくる条件
最初の運動エネルギーがこれより小さいと、B は途中で止まり、上へもどってきます。
$\dfrac{1}{2}m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}}^2 \lt \dfrac{q_{\mathrm{A}}q_{\mathrm{B}}}{4\pi\varepsilon_0 r}$
力ではなくエネルギーなので、距離は「1乗」で反比例します。
答えは(2)ピヨ。
出典：平成26年度（2014） 第三種電気主任技術者試験（電気技術者試験センター）理論 問17(b)